** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie

Exercice 1

On considère la suite $(u_n)$  définie par $u_0=1$  et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=\sqrt{3u_n}$ . On admet que les termes de cette suite sont tous définis.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $0⩽u_n⩽3$ .
2. En déduire que la suite $(u_n)$  est croissante.

Exercice 2

On considère la suite $(u_n)$  définie par $u_0=4$  et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}={\displaystyle \frac{1}{3}{u}_n+2\times 0,4^n}$ .

1. a. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
    b. Conjecturer la monotonie de la suite.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n⩾3\times 0,4^n$ .
    b. Déduire de la question précédente une démonstration de la conjecture faite en 1.b.

Exercice 3

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$  et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}=3-{\displaystyle \frac{10}{u_n+4}}$ .

1. On donne ci-dessous la courbe  $C_f$ de la fonction $f$  définie sur $]-4;+\mathrm{\infty }[$  par $f(x)=3-{\displaystyle \frac{10}{x+4}}$  ainsi que la droite $(\mathrm{\Delta })$  d'équation $y=x$ .

    a. Recopier ce graphique et y représenter graphiquement les premiers termes de la suite $(u_n).$
    b. Conjecturer la monotonie de la suite $(u_n)$ .
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$ , $u_n⩾1$ .
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel $n,$ $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}}$ .
    b. Démontrer la conjecture faite à la question 1.