** Une minoration ou une majoration pour en déduire la monotonie

Exercice 1

On considère la suite `(u_n)`  définie par `u_0=1`  et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n}\) . On admet que les termes de cette suite sont tous définis.

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(0\leqslant u_n \leqslant 3\) .
2. En déduire que la suite `(u_n)`  est croissante.

Exercice 2

On considère la suite `(u_n)`  définie par `u_0=4`  et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{3}u_n+2 \times 0,4^n\) .

1. a. Calculer les quatre premiers termes de la suite.
    b. Conjecturer la monotonie de la suite.
2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(u_n \geqslant 3 \times 0,4^n\) .
    b. Déduire de la question précédente une démonstration de la conjecture faite en 1.b.

Exercice 3

On considère la suite `(u_n )` définie par `u_0=5`  et, pour tout entier naturel `n` , \(u_{n+1}=3-\displaystyle\frac{10}{u_n+4}\) .

1. On donne ci-dessous la courbe  `C_f` de la fonction `f`  définie sur `]-4;+\infty[`  par \(f(x)=3-\displaystyle\frac{10}{x+4}\)  ainsi que la droite `(\Delta)`  d'équation `y=x` .

    a. Recopier ce graphique et y représenter graphiquement les premiers termes de la suite `(u_n).`
    b. Conjecturer la monotonie de la suite `(u_n)` .
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel `n` , \(u_n \geqslant 1\) .
3. a. Démontrer que, pour tout entier naturel `n,` \(u_{n+1}-u_n=\displaystyle\frac{(1-u_n)(u_n+2)}{u_n+4}\) .
    b. Démontrer la conjecture faite à la question 1.